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Werden diese drei Gleichungen addirt, nachdem man die erste mit x, die zweite mit 
y, die dritte mit z multiplicirt hat, so erhält man 
m Aa = (ct 4- ß 4~ y) M x« yP zr 4~ (e 4~ £ + 5) M' x f yf -1- . . . + 2 i (y- -1- z 2 ) 
woraus durch Vergleichung mit (25) hervorgeht, dass 
m = (« -j- ß -)- y) = (e -f- £ -j- S’) = • • • • = 2 
sein müsse. 
Die Function F ist also ebenfalls homogen und zwar vom zweiten Grade, in 
dem sie nunmehr die Form 
Ax 2 4* f/.y- -4- vz 2 4~ o-xy + txz 4- «yz = Aa (SJfjf) 
annimmt, worin die allein mögliche Figur von den angenommenen Eigenschaften als 
dreiaxiges Ellipsoid im allgemeinsten Sinne erkennbar wird. 
Geben wir noch einen Augenblick Acht darauf, dass die Gleichung der Ober 
fläche als eine Function dargestellt worden ist, in der die Glieder nach Potenzen der 
Coordinaten mit ganzen positiven Exponenten fortschreiten. Müssen denn nothwendig 
die Exponenten x, ß, y und so weiter hinauf ohne Ausnahme positiv und ganz sein? 
' Theils freilich liegt dies in der Art der Reihenentwicklung begründet, theils aber und haupt 
sächlich in der Natur der Anziehungen. Weil nämlich F (x, y, z) stets endliche Werthe 
hat und auch die Coordinaten stets Werthe besitzen, die zAvischen Null und bestimm 
ten endlichen Werthen liegen, so müssen die Coeffizienten M, M' . . . endlich sein. 
Sind sie es nicht, so ist die Reihenentwicklung nach steigenden ganzen und positiven 
Exponenten der Veränderlichen x, y, z unmöglich. Gesetzt also, die Coeffizienten 
M, M' u. s. w. könnten nur endliche Werthe geben, worin x, ß, y zum Theil oder 
insgesammt gebrochene oder gar negative Zahlen wären, so wäre dies mit der Natur 
der Componenten X, Y 4- iy u. s. w. unvereinbar. Denn da («’ + ß + y ) gleich 2 
sein soll, so würde, wenn eine dieser Grössen z. B. ß kleiner als 1 wäre, nothwendio- 
' O 
für y = 0 der Werth von m (Y 4- iy) gleich oo werden, was unmöglich ist, Es 
muss also einer der drei Exponenten jedenfalls stets der Null gleich sein. Es gilt 
mithin die Gleichung (26) auch für die Oberflächen der obgenannten ersten Art. Wir 
sind also durch diese Betrachtungen zu dem Resultate gelangt, dass diejenigen Gleieh- 
gewichtsfiguren einer rotirenden Flüssigkeit, deren Niveauflächen ähnlich und homo- 
thetisch sind, nur Ellipsoide sein können. Es ist nun aber auch aus der analytischen 
Mechanik bekannt, dass eine von zwei ähnlichen und homothetischen Ellipsoiden be- 
gränzte Schicht keine Anziehung auf Puncte ausübt, die innerhalb der kleinsten Ober 
fläche liegen. Es fallen mithin die beiden oben untersuchten Arten von Gleich 
gewichtsfiguren in die erste zusammen. 
Wir kehren zur Gleichung (26) zurück, sie ist die Mittelpunctsgleichung und 
es lässt sich leicht zeigen, dass das Ellipsoid sich um eine seiner Hauptaxen drehen