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Differenzirt man V nach den complexen Variabein, so erhält man 
+ xi > = 5 {d£) - ; Sä] = l < z - 
und ’ ? ;; t (115) 
•'Cd. Cä—xi)) =/ü*-d)=| |(S +i (Sj =j-(Z + X V=T) 
folglich (116) 
Cw) = z — /' ( z + xi ) + /' ( z — xi ) 
und 
ClsO — X Ä ^ — 1 {/' ( z + xi ) — f‘ (a — xi)} 
welche Gleichungen sich ebenfalls aus (114) folgern lassen, wenn die Function f 
bekannt ist. 
Laplace ist zu einer (113) entsprechenden Gleichung gelangt, indem er die 
Anziehung irgend eines Punctes der z Axe, dessen Abstand von der x Axe gleich u 
ist, untersucht und zu dem Ende das Integral 
f C Z 
z = — arc tan g 
. . — c 
ausführt, worin zwischen £ und £ die Beziehung 
+ (1 + A 2 ) I 2 — C 2 
enthalten ist. Demgemäss findet er 
-f" C . v . s 
/• Vc* - ^ Vi + tf 
J “ rc tang 1/1 + >> rü =~7) = 1 ~ i F (u - v > (tl7) 
4- A- (U — 0 
indem u- — v- = c- — b- ist. 
Setzt man u = c, d. h. betrachtet man die Anziehung des Cylinders auf den 
bestimmten Punct der Oberfläche, nämlich den Aequator des Ringes, so hat man das 
merkwürdige Resultat 
+ u | /-+-> 
/„■ c tang V ll±t A{ = X’ 
J 6 U Pu - ^ * U + V 
— ü 
welches Integral seinen Werth nicht ändert, wenn man v statt u setzt, ein Umstand, 
der in der bekannten Relation 
v 7r ’ u 
arc tang - = — arc tang - 
begründet ist. Zugleich drückt dies Integral die Anziehung des elliptischen Cylinders 
auf jeden Punct seiner Oberfläche aus, weil